MAKALAH ARITMATIKA
MATERI BILANGAN BULAT
Berterima kasihlah kalian, tanpa saya post ini pusing-pusing deh bikin makalah hehehe. semoga bermanfaat ya teman-teman sekalian.
follow akun sosial media saya, siapa tau ada yang mau request.
instagram => @faraagraf
facebook => Rifdah Faradillah
Youtube => RFD Production (jangan lupa subscribe❤)
KATA PENGANTAR
Puji
sykur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas berkat Rahmat-NYA sehingga makalah ini
dapat tersusun hingga selesai,
Tidak lupa kami juga mengucapkan banyak terimakasih atas bantuan dari pihak
yang telah berkontribusi dengan memberikan sumbangan materi maupun pikirannya.
Dan
harapan kami semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan pengalaman bagi
para pembaca, untuk ke depannya dapat memperbaiki bentuk maupun menambah isi
makalah agar menjadi lebih baik lagi.
Karena
keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman kami, Kami yakin masih banyak
kekurangan dalam makalah ini, Oleh karena itu kami sangat mengharapkan saran
dan kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.
Palembang, 21 oktober 2018
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ......................................................................... i
DAFTAR ISI ......................................................................................... ii
BAB I PENDAHULUAN .................................................................... 1
A. Latar
Belakang .................................................................. 1
B. Rumusan
Masalah ............................................................. 1
C. Tujuan
Penulisan .............................................................. 1
BAB II PEMBAHASAN ..................................................................... 2
A. Penjumlahan
Bilangan Bulat............................................
2
B. Pengurangan
Bilangan Bulat............................................
3
C. Perkalian
Bilangan Bulat...................................................
5
D. Pembagian
Bilangan Bulat................................................
7
BAB III PENUTUP ............................................................................. 9
A. Kesimpulan ........................................................................ 9
B. Saran....................................................................................
9
C. Daftar
Pustaka .................................................................. 10
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat
jumlah, namun dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan
kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi
hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwadalam
kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan,
karena bilangan selaludibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun
dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan
lainnya. Bilangan dahulunya digunakan sebagai simbol untuk menggantikan suatu
benda misalnya kerikil, ranting yangmasing-masing suku atau bangsa memiliki
cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol.
Orang yang mahir matematika bukan berarti karena kebetulan. Untuk
menguasai materi matematika disyaratkan mengetahui dan menguasai kajian
dasarnya. Selanjutnya dia sering berlatih dengan soal-soal yang berkaitan
dengan apa yang sedang dipelajarinya. Sehingga dia bisa menguasai secara benar
teori, konsep dan penerapannya untuk mempelajari salah satu disiplin ilmu ini.
Oleh karena itu untuk memenuhi tuntutan tersebut, dalam makalah singkat ini
dicantumkan uaraian singkat tentang bilangan bulat. Bilangan bulat banyak
digunakan dalam kehidupan sehari-hari, salah satu contohnya
untuk menentukan kedalaman laut, jika kita
mengatakan kedalaman 20 m dibawah permukaan laut maka kita tulis -20 m.
B. RUMUSAN
MASALAH
Rumusan
masalah tentang makalah ini adalah :
1. Apa sajakah sifat dasar
bilangan bulat?
2. Bagaimana
operasi-operasi pada bilangan bulat?
3. Bagaimanakah
urutan-urutan pada bilangan bulat?
4. Bagaimana
pembuktian operasi pada bilangan bulat?
C. TUJUAN
Adapun
tujuan dari makalah ini adalah :
1. Agar dapat memahami
sifat dasar pada bilangan bulat
2. Agar
dapat mengetahui operasi – operasi pada bilangan bulat
3. Agar
dapat memahami arti dari urutan bilangan-bilangan bulat,
4. Agar
dapat mengetahui pembuktian dari operasi bilangan bulat
BAB II
A. PENJUMLAHAN
BILANGAN BULAT ( Uke
Fiskarabela no. 2)
1. Sifat-sifat Penjumlahan
a. Sifat
Asosiatif : ( a + b ) + c = a + ( b + c )
Contoh
: (5 + 3 ) + 4 = 5 + ( 3 + 4 ) = 12
b. Sifat Komutatif
: a + b = b + a
Contoh
: 7 + 2 = 2 + 7 = 9
c. Unsur Identitas
terhadap penjumlahan
Bilangan
Nol (0) disebut unsur identitas atau netral terhadap penjumlahan
a +
0 = 0 + a
Contoh
: 6 + 0 = 0 + 6
d. Unsur invers
terhadap penjumlahan
- Invers jumlah (lawan) dari a adalah
–a
- Invers jumlah
(lawan) dari – a adalah a
- a + (-a) = (-a) + a
Contoh : 5 + (-5) = (-5) + 5 = 0
e. Bersifat Tertutup
Apabila dua buah bilangan bulat ditambahkan maka hasilnya
adalah bilangan bulat juga. a dan b bilangan
bulat maka a + b = c ; c bilangan bulat.
Contoh : 4 + 5
= 9 ; 4,5,9 bilangan bulat.
- Bukti
bahwa (-a) + (-b) = - (a + b)
Misalkan a dan b bilangan –
bilangan cacah, maka (-a) + (-b) merupakan jumlah dua bilangan negatif. Misal (-a) +
(-b) = c maka c = (-a) + (-b).
c + b = ((-a) + (-b)) + b sifat kesamaan
c + b = (-a) + ((-b) + b) sifat asosiatif penjumlahan
c + b = (-a) + 0 invers penjumlahan
c + b) + a = (-a) + a sifat
kesamaan
c + b) + a = 0 invers penjumlahan
c + (b + a) = 0 sifat asosiatif penjumlahan
c + (a + b) = 0 sifat komutatif penjumlahan
(c + (a + b)) + (-(a + b)) = – (a + b) sifat kesamaan
c +((a + b) + (-(a + b))) = – (a + b) sifat asosiatif
c + 0 = – (a + b) invers penjumlahan
Jadi kesimpulannya (-a)
+ (-b) = – (a + b)
B. PENGURANGAN
BILANGAN BULAT
1. Sifat-sifat
Pengurangan Bilangan Bulat
Bilangan bulat a dikurangi
bialangan bulat bsama artinya dengan bulat a ditambahkan dari lawan bilangan
bulat, atau dapat ditulis a - b = a + (-b)
Pengurangan bilangan cacah
tidak bersifat tertutup, artinya bila suatu bilangan cacah dikurungkan dengan
bilangan cacah yang lain, hasilnya belum tentu bilangan cacah. Pengurangan
bilangan cacah (a - b) menghasilkan bulangan cacah hanya jika a b. Tetapi,
pengurangan bilangan bulat memiliki sifat tertutup. Secara lengkap sifat-sifat pengurangan
bilangan bulat adalah sebagai berikut :
a. Untuk
sembarang bilangan bulat berlaku :
- a – b = a + (-b)
- a – (-b) = a + b
Contoh:
8 – 5 = 8 + (-5) = 3
7 – (-4) = 7 + 4 = 11
b. Sifat
Komutatif dan asosiatif tidak berlaku
- a – b ≠ b – a
- (a – b ) – c ≠ a – ( b – c )
Contoh
:
7 – 3 ≠ 3 -7 4 ≠ - 4
(9 – 4) – 3 ≠ 9 – (4-3) 2 ≠ 8
c. Pengurangan
bilangan nol mempunyai sifat :
a – 0 = a dan 0 – a = -a
d. Bersifat
tertutup, yaitu bila dua buah bilangan bulat dikurangkan hasilnya adalah
bilangan
bulat juga : a dan b ∈ bilangan bulat maka a - b = c ; c ∈ bilangan bulat.
Contoh :
7 - 8 = -1 à 7, 8, -1 ∈ bilangan bulat
C. PERKALIAN BILANGAN BULAT
1. Sifat-sifat
Perkalian Bilangan Bulat
a. Untuk
sembarang bilangan bulat berlaku :
- a x b = hasil perkalian
dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif.
Contoh: 7 x 6 = 6 x 7 = 42
- a x –b = hasil pekalian bilangan bulat
positif dan negatif hasilnya adalah
bilangan bulat negatif.
Contoh : 3 x -4 = -12
- -a x -b = hasil perkalian dua bilangan
negatif adalah bilangan
bulat
positif.
Contoh : -4 x -5
= 20
b. Sifat Asosiatif : (a x b) x c = a x (b x c)
Contoh: (2 x 3) x
4 = 2 x (3 x 4) = 24
c. Sifat
Komutatif : a x b = b x a
Contoh : 5 x 4 =
4 x 5 = 20
d. Sifat Distributif
: a x (b+c) = (a x b ) + (a x c)
Contoh : 3 x ( 2
+6) = (3 x 2) + (3 x 6) = 24
e. Unsur
Identitas Untuk Perkalian
- Hasil
perkalian bilangan bulat dengan nol hasilnya adalah bilangan nol : a x 0 = 0
- Hasil
perkalian bilangan bulat dengan 1 hasilnya adalah bilangan bulat itu juga : a x
1 = 1 x a = a
f. Bersifat Tertutup
Jika dua bilangan bulat dikalikan maka
hasilnya adalah bilangan bulat juga a x b = c ; a, b, c ∈bilangan bulat
Berikut akan diperlihatkan
bagaimana memberi makna perkalian dua bilangan bulat yang satu negatif dan lainnya
positif. Misalkan a dan b adalah bilangan cacah, maka a bilangan bulat positif
dan (-b) bilangan bulat negatif. Akan diperlihatkan bahwa a x (-b) =
-(a x b).
Bukti :
1. a x (b + (-b)) = a x 0
2. a (b
+ -b)) = ( a x b ) + (a x –b)
3. (a
x b) + (a x (-b))
= 0
4. (a x b) + (-(a x b)) =
0
5.(a x b) + (-a x (-b)) = (a x b)
+ - (a x b)
6. a
x (-b) = - (a x b)
- Buktikan
bahwa (-a)(b + (-c)) = ac – ab.
Bukti :
(-a)(b
+ (-c))
= (-a)(b) + (-a)(-c)
sifat distributif perkalian penjumlahan
= (-(ab)) +
ac perkalian bilangan bulat (-a) x b = -ab dan (-a) x (-c) = ac
= ac + (-(ab)) sifat
komutatif perkalian
= ac – ab penjumlahan 2
bilangan bulat (misal : a + (-b) = a – b)
Jadi terbukti bahwa (-a)(b +
(-c)) = ac – ab.
D. PEMBAGIAN BILANGAN BULAT ( Wulanda Annisa No. 20)
1. Sifat-sifat
Pembagian Bilangan Bulat
Hasil bagi bilangan bulat (a ÷ b) merupakan
suatu bilangan bulat jika dan hanya jika a kelipatan dari b, sehingga
untuk setiap bilangan bulat a dan b hasil bagi (a ÷ b) tidak selalu
merupakan bilangan bulat. Karena itu, pembagian bilangan bulat tidak bersifat
tertutup.Sifat-sifat
pembagian bilangan bulat adalah sebagai berikut :
a. Hasil bagi
dua bilangan bulat positif adalah bilangan positif
(+) ÷ (+) = (+)
Contoh : 8 ÷ 2 = 4
b. Hasil bagi
dua bilangan bulat negatif adalah bilangan positif
(-) ÷ (-) = (+)
Contoh : -10 :
-5 = 2
c. Hasil bagi
dua bilangan bulat yang berbeda adalah bilangan negatif
(+) ÷ (-) = (-)
(-) ÷ (+) = (-)
Contoh
: 6 ÷-2 = -3
-12 ÷ 3 = -4
d. Hasil bagi
bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi
a ÷ 0 tidak terdefinisi (~)
0 ÷ a = 0 (nol)
Contoh
: = ~ (Tidak terdefinisi)
e. Tidak
berlaku sifat komutatif dan asosiatif
a ÷ b ≠ b : a
(a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c)
Contoh
: 4 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 4 à 2 ≠
(8 ÷ 2) ÷ 4 ≠ 8 ÷ (2 ÷ 4) à 1 ≠ 16
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Himpuanan bilangan bulat adalah
gabungan dari himpunan bilangan cacah dan himpunan bilangan bulat negatif.Sifat
– sifat pada bilangan bulat adalah sifat tertutup, sifat kmutatif, sifat
asosiatif, sifat distributive dan adapula unsur identitas penjumlahan dan
perkalian. Operasi-operasi pada bilangan bulat yaitu operasi penjumlahan,
pengurangan, perkalian dan pembagian
definisi
relasi “lebih kecil dari” pada bilangan-bilangan cacah, dan telah membuktikan
sifat-sifatnya. Berikut ini , kita akan mempelajari relasi urutan
bilangan-bilangan bulat. Ada beberapa definisi yaitu :
1.
Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih kecil dari b (dinyatakan dengan a
2.
Jika a dan b bilangan-bilangan bulat , a lebih besar dari b ( di nyatakan
dengan a > b )
Bila dan
hanya bila b.
B. Saran
Sebagai calon pendidik di bidang
Matematika, hendaknya kita dapat mengetahui tentang teori bilangan
teutama mengenai sifat dan operasi bilangan bulat serta urutan bilangan bulat
dalam garis bilangan. Sehingga dengan begitu sebagai calon pendidik tahu
secara umum mengenai teori bilangan
DAFTAR PUSTAKA
Astuty, B. (2009). Ayo Belajar Matematika. Jakarta: Departemen Pendidikan
Nasional.
http://articlesgenius.wordpress.com/2013/03/16/macam-macam-bilangan-dalam-matematika/www.scribd.com (di akses Rabu,12 November 2014)
Komentar
Posting Komentar